Hukum Kepler

Karya Kepler sebagian dihasilkan dari data-data hasil pengamatan yang dikumpulkan Ticho Brahe mengenai posisi planet-planet dalam geraknya di luar angkasa. Hukum ini telah dicetuskan Kepler setengah abad sebelum Newton mengajukan ketiga Hukum-nya tentang gerak dan hukum gravitasi universal. Di antara hasil karya Kepler, terdapat tiga penemuan yang sekarang kita kenal sebagai Hukum Kepler mengenai gerak planet.

Hukum I Kepler

Lintasan setiap planet ketika mengelilingi matahari berbentuk elips, di mana matahari terletak pada salah satu fokusnya.

Kepler tidak mengetahui alasan mengapa planet bergerak dengan cara demikian. Ketika mulai tertarik dengan gerak planet-planet, Newton menemukan bahwa ternyata hukum-hukum Kepler ini bisa diturunkan secara matematis dari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Newton juga menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten dengan Hukum Kepler.

Hukum II Kepler

Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu yang sama.

Hal yang paling utama dalam Hukum II Kepler adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik sepanjang orbit yang berbentuk elips.

Hukum III Kepler

Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet-planet tersebut dari matahari.

Jika T₁ dan T₂ menyatakan periode dua planet, dan r₁ dan r₂ menyatakan jarak rata-rata mereka dari matahari.

Newton menunjukkan bahwa Hukum III Kepler juga bisa diturunkan secara matematis dari Hukum Gravitasi Universal dan Hukum Newton tentang gerak dan gerak melingkar. Sekarang mari kita tinjau Hukum III Kepler menggunakan pendekatan Newton.

m₁ adalah massa planet, m_M adalah massa matahari, r₁ adalah jarak rata-rata planet dari matahari, v₁ merupakan laju rata-rata planet pada orbitnya.

Hukum Newton

HUKUM NEWTON I

HUKUM NEWTON I disebut juga hukum kelembaman (Inersia).
Sifat lembam benda adalah sifat mempertahankan keadaannya, yaitu keadaan tetap diam atau keaduan tetap bergerak beraturan.

DEFINISI HUKUM NEWTON I :
Setiap benda akan tetap bergerak lurus beraturan atau tetap dalam keadaan diam jika tidak ada resultan
gaya (F) yang bekerja pada benda itu, jadi:

S F = 0 a = 0 karena v=0 (diam), atau v= konstan (GLB)

HUKUM NEWTON II

a = F/m

S F = m a

S F = jumlah gaya-gaya pada benda
m = massa benda
a = percepatan benda

Rumus ini sangat penting karena pada hampir semna persoalan gerak {mendatar/translasi (GLBB) dan melingkar (GMB/GMBB)} yang berhubungan dengan percepatan den massa benda dapat diselesaikan dengan rumus tersebut.

HUKUM NEWTON III

DEFINISI HUKUM NEWTON III:

Jika suatu benda mengerjakan gaya pada benda kedua maka benda kedua tersebut mengerjakan juga gaya pada benda pertama, yang besar gayanya = gaya yang diterima tetapi berlawanan arah. Perlu diperhatikan bahwa kedua gaya tersebut harus bekerja pada dua benda yang berlainan.

F aksi = - F reaksi

N dan T1 = aksi reaksi (bekerja pada dua benda) T2 dan W = bukan aksi reaksi (bekerja pada tiga benda)

Gaya

GAYA GESEK Gaya gesek adalah gaya yang bekerja pada benda dan arahnya selalu melawan arah gerak benda. Gaya gesek hanya akan bekerja pada benda jika ada gaya luar yang bekerja pada benda tersebut. fs = gaya gesek statis ms = koefisien gesek statis fk = gaya gesek kinetis mk = koefisien gesek kinetis P = Resultan gaya reaksi yang mengimbangi gaya aksi F dan W Nilai fs antara nol sampai maksimum (nilai fs = 0 jika tidak ada gaya luar F yang bekerja pada benda, dan nilai fs mencapai maksimum pada saat benda akan bergerak). fs maksimum ini tergantung pada sifat permukaan benda dan lantai yang bersinggungan serta tergantung pada gaya normal.

GAYA GRAVITASI Percepatan gravitasi di permukaan bumi secara rata-rata bernilai 9,8 m/s2. kenyataannya, nilai gravitasi (g) sedikit berubah dari satu titik ke titik lain di permukaan bumi, dari kira-kira 9, 78 m/s2 sampai 9,82 m/s2. beberapa faktor yang mempengaruhi hal tersebut antara lain : pertama, bumi kita tidak benar-benar bulat, percepatan gravitasi bergantung pada jaraknya dari pusat bumi (planet); kedua, percepatan gravitasi tergantung dari jaraknya terhadap permukaan bumi. Semakin tinggi sebuah benda dari permukaan bumi, semakin kecil percepatan gravitasi; ketiga, percepatan gravitasi bergantung pada planet tempat benda berada, di mana setiap planet, satelit atau benda angkasa lainnya memiliki gravitasi yang berbeda. Mengapa Gravitasi di permukaan bumi berbeda-beda ? mengapa percepatan gravitasi di setiap planet berbeda ? untuk mengetahui hal ini, anda perlu mengetahui apa sebenarnya gravitasi atau apa yang membuat bumi dan benda angkasa lainnya, termasuk bulan memiliki gravitasi. Mengenai hal ini selengkapnya akan kita pelajari pada pokok bahasan teori relativitas umum eyang Einstein. Pada kesempatan ini Gurumuda ingin menjawab rasa penasaran anda, seandainya anda ingin mengetahui apa itu gravitasi sesungguhnya sehingga setiap benda selalu jatuh ke permukaan bumi. Untuk memudahkan pemahaman anda mengenai gravitasi, bayangkanlah anda dan teman dekat atau pacar anda yang cantik+ merentangkan sebuah kain (sebaiknya kain tersebut terbuat dari karet). Sekarang, letakan sebuah benda, dari ukuran terkecil hingga ukuran besar di atas kain atau lembaran karet tersebut. Apa yang anda amati ? jika yang anda letakan adalah sebuah kelereng, maka lekukan yang terbentuk kecil, tetapi jika anda meletakan sebongkah batu yang berukuran besar maka lekukan pada kain atau lembaran karet tersebut sangat besar. nah, sekarang, letakan sebuah kerikil atau batu kecil pada pinggir kain tersebut. Apa yang anda amati ? kerikil atau batu kecil tersebut akan terperosok alias jatuh menuju pusat lekukan, di mana batu besar yang anda letakan pada kain berada. Setiap benda angkasa yang bermassa (termasuk bumi) selalu membuat lekukan dalam ruang waktu. hal ini yang menyebabkan setiap benda seolah-olah ditarik bumi atau benda angkasa lainnya. Sebenarnya ini disebabkan oleh efek lekukan, sebagaimana ilustrasi kain karet dan batu di atas. Selengkapnya anda pelajari pada pembahasan mengenai Teori Relativitas Umum (kelas XII). Pada pembahasan mengenai Gerak Jatuh Bebas, kita telah belajar bahwa benda-benda yang dijatuhkan dekat permukaan bumi akan jatuh dengan percepatan yang sama, g (percepatan gravitasi), seandainya hambatan udara diabaikan. Gaya yang menyebabkan percepatan ini disebut gaya gravitasi. Gaya gravitasi bekerja pada sebuah benda ketika benda tersebut jatuh. Kita terapkan hukum II Newton untuk gaya gravitasi dan untuk percepatan a, kita ganti dengan percepatan gravitasi (g). ingat kembali pelajaran Gerak Jatuh Bebas. Benda yang jatuh hanya dipengaruhi oleh percepatan gravitasi. Dengan demikian Gaya Gravitasi yang pada sebuah benda, FG, yang besarnya disebut berat, dapat ditulis sebagai : FG = mg Arah gaya ini ke bawah, menuju ke pusat bumi. Persamaan ini sama dengan w = mg, seperti yang sudah kita pelajari di atas, karena berat adalah gaya gravitasi yang bekerja pada sebuah benda.

Persamaan Gerak bag.2

GLB dan GLBB

3. GLB

• Gerak Lurus Beraturan adalah gerak benda yang lintasannya lurus dan kecepatannya konstan.

S = v. ∆ t

4. GLBB

• Gerak Lurus Berubah Beraturan adalah gerak lurus yang terdapat perubahan kecepatan dalam lintasannya.

Ada tiga persamaan penting dalam GLBB

V_t = v_o + a. ∆ t …………….. (1)

s = v_ot + 1/2at² …………….. (2)

v_t² = v_o² + 2as …………….. (3)

V_t = Kecepatan pada saa t

v_o = Kecepatan awal

a = Percepatan

TURUNAN DAN INTEGRAL

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi

Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

,

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

Persamaan Gerak

SISTEM KOODINAT POLAR DAN KARTESIUS

Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut

Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4.

VEKTOR POSISI

vektor posisi dapat dinyatakan sebagai jumlah vektor dari setiap vektor basis yang sesuai dengan jenis koordinat yang digunakan.

vektor basis adalah vektor yang menjadi vektor dasar/pembentuk/pembangun dari suatu koordinat dan pernyataannya tergentung dari jenis koordinat yang digunakan.

contoh vektor basis:
vektor basis x, y, z dalam koordinat Cartessian
vektor basis r, theta dalam koordinat lingkaran
vektor basis r, theta, pi dalam koordinat Bola

jadi vektor posisi dapat dituliskan sebagai jumlah dari vektor-vektor basis tersebut.

contoh penulisan vektor posisi:
S = 2x +3y + 4z (S, x, y, z adalah vektor)
atau bisa juga hanya ditulis (2,3,4)
bentuk ini memiliki aturan urut yaitu (x,y,z)

setiap masalah dapat diselesaikan dengan sistem koordinat manapun tapi ada beberapa masalah yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan sistem koordinat yang pas.

sebagai contoh tidak mungkin kita menunjukkan posisi kota jakarta di Bola Dunia (Globe) dengan menggunakan koordinat Cartessian karena vektor posisinya akan sulit dinyatakan. koordinat yang pas untuk masalah tersebut adalah koordinat Bola dengan format (r,theta,pi)

GMB dan GMBB

GERAK MELINGKAR BERATURAN Suatu benda dikatakan bergerak melingkar beraturan (GMB) bila benda
tersebut bergerak dalam lintasan berbentuk lingkaran dan lajunya tetap. Di kehidupan sehari-hari kita akan banyak
menemui kejadian GMB ini. Perputaran jarum jam, revolusi bumi, gerak satelit pada orbitnya, dll. Di sini, harus diingat
bedanya kelajuan dengan kecepatan. (kecepatan merupakan kelajuan yang mempunyai arah). Jadi, meskipun kelajuan
benda pada GMB ini tetap, bukan berarti kecepatannya juga tetap. Kelajuan benda dinyatakan sebagai kecepatan
sudut benda (ω) dikalikan jari-jari (r). v = ω.r Coba perhatikan gambar berikut.
Disana terlihat ada perubahan arah kecepatan (v). Awalnya mendongak ke atas setelah beberapa saat kemudian
menjadi ke arah bawah. Percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu, atau : a =
(Δv/Δt)..................................................(1)
akan tetapi, karena kelajuan benda besarnya tetap maka yang berubah adalah arahnya/sudutnya. Dengan menganggap
Δt bernilai kecil, maka Δθ juga bermilai kecil. Sehingga, Δv/v = Δr/r atau bisa kita ubah
menjadi Δv = v.(Δr/r)...............................................(2) Dengan menggabungkan persamaan 1 dan 2 akan kita
peroleh
Jadi, pada GMB kecepatan benda dinyatakan dengan kecepatan sudut dikali jari-jari lingkaran, atau v =
(Δθ/Δt).r = ω.r dan percepatan yang terjadi disebut percepatan sentripetal yang arahnya ke titik
pusat lingkaran yang besarnya :
GERAK MELINGAR BERUBAH BERATURAN Pada GMBB, kecepatan gerak benda selain berubah arahnya juga
berubah besarnya. (Arti kata “berubah beraturan” pada GMBB adalah kelajuan benda berubah secara
teratur). Jadi pada GMBB percepatan terdiri atas 2 macam. Percepatan sentripetal (seperti pada GMB) yang arahnya ke
titik pusat lingkaran, dan percepatan tangensial yang arahnya tegak lurus dengan jari-jari (menyinggung lingkaran). Agar
lebih jelasnya kita nyatakan dalam bentuk vektor.
(menunjukkan searah dengan jari-jari, danmenunjukkan tegak lurus dengan jari-jari)
contoh : Sebuah benda bergerak secara GMBB dengan percepatan anguler sebesar b (rad/s2). maka kecepatannya
sebagai fungsi waktu adalah : v = ω.r =